Trois intégrales d'un coup

Le but de l'exercice est de calculer les intégrales \(I\) ,   \(J\) et  \(K\)   définies par :
\(I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\mbox{ d}x\)   ;  \(J=\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}\mbox{ d}x\)   et  \(K=\displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{x^{2}+1}\mbox{ d}x\) .

1. Soit  \(F\) la fonction définie sur  \(\mathbb{R}\)  par \(F(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\) .
    a. Démontrer que la fonction  \(F\) est une primitive sur  \(\mathbb{R}\) de \(f:x\longmapsto\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\) .
    b. En déduire la valeur de \(I\) .

2. Sans chercher à calculer explicitement  \(J\) et  \(K\) , vérifier que  \(J+I=K\) .

3. Soit  \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(g(x)=x\sqrt{x^{2}+1}\) .
    a. Déterminer \(g'(x)\) .
    b. En déduire la valeur de \(K+J\) .

4. En déduire les valeurs de  \(J\) et de \(K\) .